Szczególne typy macierzy
Definicja 1: Macierz zerowa
Definicja 2: Macierz kwadratowa, główna przekątna
- Jeżeli liczba wierszy macierzy jest równa liczbie jej kolumn, to mówimy, że dana macierz jest kwadratowa. Jeżeli liczba wierszy i kolumn macierzy jest równa \( n \), to wówczas mówimy, że macierz jest stopnia \( n \).
- Główną przekątną macierzy kwadratowej \( A=(a_{ij}) \) stopnia \( n \) nazywamy zbiór elementów, dla których numer wiersza i numer kolumny są równe, tj. zbiór elementów \( \{a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn} \} \).
Definicja 3: Macierz trójkątna górna, macierz trójkątna dolna
- Macierzą trójkątną górną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące pod główną przekątną są równe zero.
- Macierzą trójkątną dolną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące nad główną przekątną są równe zero.
Przykład 1:
Główną przekątną powyższej macierzy stanowi zbiór elementów \( \{1,2i,-i,i\} \). Ponieważ wszystkie elementy leżące pod główną przekątną są równe zero, zatem mamy do czynienia z macierzą trójkątną górną.
Definicja 4: Macierz diagonalna
Definicja 5: Macierz jednostkowa
Macierz jednostkową stopnia \( n \) oznaczamy symbolem \( I_{n} \). Czasami, jeżeli nie ma wątpliwości co do wymiaru danej macierzy jednostkowej, pomijamy dolny indeks pisząc po prostu \( I \).
Przykład 2:
Macierz jednostkowa stopnia \( 3 \) jest postaci
Definicja 6: Macierz transponowana
Z definicji wynika, że macierz transponowana powstaje z macierzy wyjściowej poprzez zapisanie kolejno poszczególnych wierszy macierzy \( A \) jako kolejne kolumny macierzy \( A^{T} \).
Przykład 3:
macierz transponowana \( A^{T} \) jest postaci
Twierdzenie 1: Własności transpozycji
Zachodzą następujące własności:
- \( (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}; \)
- \( (A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}; \)
- \( (A^{T})^{T}=A; \)
- \( (a^{r})^{T}=(A^{T})^{r}; \)
- \( (\alpha A)^{T}=\alpha A^{T}, \)
Definicja 7: Macierz symetryczna i macierz antysymetryczna
- Macierz kwadratową \( A \) nazywamy symetryczną, jeżeli jest równa swojej macierzy transponowanej, tj. zachodzi warunek \( A=A^{T} \).
- Macierz kwadratową \( A \) nazywamy antysymetryczną, jeżeli \( A^{T}=-A \).
Z definicji wynika, że macierz kwadratowa jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są sobie równe.
Z kolei macierz kwadratowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są liczbami wzajemnie przeciwnymi, zaś elementy na głównej przekątnej są równe \( 0 \).
Przykład 4:
Macierz
jest symetryczna, z kolei macierz
jest antysymetryczna.